报告会现场 杨安摄影

岳尔根·约斯特教授讲授极小曲面 杨安摄影

【本站讯】4月8日，国际知名微分几何学家、德国自然科学院院士、莱比锡马克斯·普朗克应用数学研究所所长岳尔根·约斯特教授做客第41期黄岛讲坛，为师生作题为“极小曲面——从现代数学中的关键问题到广泛应用（Minimal surfaces: From key problems of modern mathematics to wide ranging applications）”的学术报告。复旦大学教授、中国数学会第十二届钟家庆数学奖获得者丁琪，中国科学技术大学教授刘世平应邀出席，与我校师生共同听取讲座。

极小曲面最早可以追溯到欧拉、拉格朗日，以及变分法的起源，现已发展成为一个内容丰富且深刻的研究方向：极小子流形。它的很多思想和方法极大促进了几何、偏微分方程等研究的发展，在建筑学、生物数学、材料科学等诸多领域中有着广泛应用。在对于极小子流形的研究中存在3种重要的问题：狄利克雷问题（Dirichlet problem）、普拉托问题（Prato problem）和伯恩斯坦问题（Bernstein problem）。在最近的10余年间，极小子流形理论研究依然相当活跃。

约斯特教授饶有兴趣地介绍了极小曲面的许多经典案例，尤其是曲线张成极小曲面的案例。这类极小曲面可能会有奇点，尤其是当曲线有3-4个连通分支时，有可能张成无限多个极小曲面。通过这些案例，约斯特教授引出了极小曲面的很多性质。

关于狄利克雷问题，约斯特教授分别介绍了詹金斯·塞林（Jenkins Serrin）关于“余一维平均凸区域上极小超曲面方程的狄利克雷问题经典解”；高余维、王慕道合作研究的“在凸区域上研究的极小图方程狄利克雷问题的解”；约斯特教授本人和丁琪、忻元龙合作研究的“在平均凸区域上，一大类边界值下极小图方程狄利克雷问题的解”。

最早的伯恩斯坦（Bernstein）定理说：3维欧氏空间中的整体极小图一定是平面。伯恩斯坦定理同样可以推广到高维数，这前后经过数位数学家，如弗莱明（Fleming）、德乔治（De Giorgi）、阿尔姆格伦（Almgren）等的不断努力，并最终由西蒙斯（Simons）所解决，即：维数小于或等于8维的欧氏空间中整体极小图一定是超平面。其中，西蒙斯是通过运用著名的降维办法、并证明“西蒙斯锥”是稳定的，最终得出伯恩斯坦定理。上述数字“8”是最优的，因为在维数大于等于9维的欧氏空间中“波比耶里-德乔治-吉斯蒂”（Bombieri-De Giorgi-Giusti）构造了非平凡的整体极小图。如果极小图有有界的梯度，莫瑟（Moser）能够得到所有维数的伯恩斯坦定理。伯恩斯坦定理还可以推广到高余维。通过研究高斯（Gaussian）映照，约斯特与其合作者得到了余维数为2时梯度有界的伯恩斯坦定理。

讲座结束后，约斯特教授与现场师生进行热切互动交流，他认为：极小子流形会继续在理论和应用等方面得到更加深入的研究和发展。

岳尔根·约斯特（Jürgen Jost），教授，国际知名微分几何学家，1986年国际数学家大会“45分钟报告”报告人，德国自然科学院院士，莱比锡马克斯·普朗克应用数学研究所所长，德国美因茨自然与人文科学院院士，萨克斯森州科学院院士，莱比锡大学名誉教授，美国圣菲研究所（Santa Fe Institute, SFI）外籍院士，美国柯朗数学研究所客座教授。在世界知名出版社施普林格出版教材近20部，1993年获得德国科学技术最高奖“莱布尼茨奖”等。研究方向涵盖数学的众多方面以及交叉学科，包括几何分析，变分与偏微分方程，数学物理，复杂动力系统，神经网络，数学生物，数学哲学，经济与社会学等。发表专著十余本，论文200余篇，他引2000余次，其中包括Acta. Math., Invent. Math., Comm. Pure Anal. Math., J. Algebraic Geom., J. Differential Geom.等国际超一流数学杂志论文若干篇。