【本站讯】近日，我校理学院微分方程动力系统及其数值模拟团队与山东大学司建国教授团队合作，在哈密顿系统的KAM理论方面取得重要进展，相关成果“KAM tori for the two-dimensional completely resonant Schrödinger equation with the general nonlinearity”（具有一般非线性项的二维完全共振薛定谔方程的KAM环面）发表于国际权威数学期刊Journal de Mathématiques Pures et Appliquées。我校张敏博士为第一作者，中国石油大学（华东）为第一署名单位。该研究得到国家自然科学基金、山东省自然科学基金和中国石油大学（华东）自主创新科研计划项目强基专项联合资助。

十九世纪末，Poincaré在研究太阳系稳定性时提出可积哈密顿系统的稳定性机制有多少在小摄动下保持下来，并称之为“动力学基本问题”，且解决了最大共振情形周期轨道的稳定性问题；但对于拟周期情形，由于小分母的存在，他未能给出具体结论。直至20世纪五、六十年代，Kolmogorov、Arnold和Moser建立的KAM理论克服了小分母困难，解决了绝大多数非共振情形的稳定性问题。KAM理论是动力系统领域最深刻、最困难的结果之一，对太阳系运行的稳定性机制给出了一个合理的解释，被认为是二十世纪经典力学和动力系统的里程碑。KAM理论在常微分方程以及一维偏微分方程的发展较完善，已存在大量成果。但当偏微分方程中的空间变量处于高维空间时，由于法向频率重数趋于无穷，使得求解同调方程以及测度估计变得更加困难，因此成果较少。

张敏博士与其合作者历时五年，通过构造容许集的思想，利用KAM理论研究了具有物理背景的完全共振的二维五次薛定谔方程的拟周期解的存在性，相关研究成果在国际权威数学期刊Transactionsof the American MathematicalSociety发表，全文70页。近两年来，张敏和其合作者一直致力于将这种思想用于2p+1次薛定谔方程（p为任意正整数），最终通过努力，证明存在容许集，使得该集合中的点满足3p个共振条件。针对选取的容许集，研究给出与其相关的Birkhoff正规型，进而通过幅频调制提取参数，然后通过融合Töplitz-Lipschitz思想以及求解依赖角变量的同调方程思想，克服了KAM迭代过程中出现的小分母问题以及由其引出的坏参数集合的测度估计问题，最终在不引入外参数的情况下，讨论了完全共振的具有一般非线性项的二维完全共振薛定谔方程的拟周期解的存在性，且给出了拟周期解的稳定性和零Lyapunov 指数等动力学性质，填补了这一研究领域的空白。该成果中关于容许集的构造，是独立于具体方程的普适性结论，适用于同二维欧式空间相关的研究。

该成果全文81页，其中关于切向频率集合（容许集）非空的证明长达36页，相关学者对该成果给予高度评价，认为其关于容许集非空的证明以及由其确定的Birkhoff正规型的特殊形式是非常有趣且有意义的研究成果。

Journal de Mathématiques Pures et Appliquées创刊于1836年，是由法国著名数学家Joseph Liouville创立的综合性数学刊物，是世界上第二古老的国际数学期刊。该期刊致力于发表纯数学和应用数学各个分支具有突破性的重要成果，是业内公认的数学类权威期刊，具有很高的学术声誉。

我校微分方程动力系统及其数值模拟团队长期致力于哈密顿系统的KAM理论、生态学中的偏微分方程动力学系统、吸引子及惯性流形等相关领域的研究。近年来承担国家自然科学基金项目及省部级项目10余项，在Journal de Mathématiques Pures et Appliquées、Transactions of the American Mathematical Society、Nonlinear Analysis: Real World Applications、Nonlinear Analysis: Theory, Method & Applications、Nonlinear Analysis: Modelling and Control等国际知名期刊上发表高水平论文50余篇，在微分方程动力系统领域形成了一定的影响力。

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https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0021782422001702